Géométrie
Contrairement à la réalité où les joints alternés font rigueur dans les courbes pour garantir la solidité, les courbes s'obtiennent en différenciant les longueurs des rails des deux files.

Comment s'assurer qu'une courbe conserve son rayon d'origine?
Au fil du temps, la voie bouge dans les courbes, à cause du tassement du ballast, des charges, de l'inertie en virage. De temps en temps, il faut redresser la voie, histoire de garantir un minimum de confort aux passagers. Le jardinier dirait qu'il n'y a qu'à tirer une corde fixée à un piquet, façon chèvre, mais il n'est pas évident d'avoir la place pour planter le piquet central. Et puis il faut que la corde, soit tendue dans un seul plan, donc que le terrain soit plat.

Pour le dressage de la voie, un vrai taupier vous montrera qu'il suffit de mesurer la longueur de flèche au milieu d'une corde tendue entre deux bords d'une même file de rail.

Le taupier en chef possède une table qui donne le rayon de la courbe en fonction de la longueur de la flèche. Ensuite à l'aide de crics et de barres à mine, la voie est bougée pour reprendre son tracé d'origine.

Démonstration mathématique
Soient:
R: rayon de la courbe
A: longueur de flèche
L: longueur de corde

On peut écrire:
(R-A)² + (L/2)² = R² (Le bon vieux théorème de Pythagore)
R² - 2AR + A² + L²/4 = R² (On développe et on supprime les deux R²)
A² + L²/4 = 2AR ⁽¹⁾

On cherche le rayon R en fonction de la longueur de corde L et de la longueur de flèche A. (niveau 3^ième)
À partir de ⁽¹⁾
(4A² + L²)/(8A) = R
R = A/2 + L²/(8A) ⁽²⁾
Si la flèche A vaut 0, on a affaire à une courbe de rayon infini, c'est à dire une droite...

On cherche la longueur de flèche A en fonction du rayon R et de la longueur de corde L.
À partir de ⁽¹⁾
A² + (-2R)A + L²/4 = 0 (oh, un joli trinôme du second degré, niveau 1^èreS)
Calculons le discriminant Δ=(-2R)² - 4(1)(L²/4)
Δ=4R² - L^{2 (3)}
Suivant les valeurs de R et L, on pourra ou non avoir une flèche...
Ce qui se comprend facilement, si L > 2R, la corde ne rentre pas dans le cercle...

• Δ < 0
  4R² - L² < 0
  L > 2R (longueur de corde supérieure au diamètre, pas de flèche A)
• Δ = 0
  L = 2R
  A = R (bah, ce n'est pas très malin pour calculer une flèche)
• Δ > 0
  L < 2R
  A₁ = R - √(4R² - L²)/2 (C'est une solution convenable)
  A₂ = R + √(4R² - L²)/2 (C'est un peu farfelu, mais c'est pour la flèche de l'autre partie du cercle)
  
Donc si L << 2R (longueur de corde L beaucoup plus petite que le diamètre), A = R - √(4R² - L²)/2